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Gabriel Alexander Dogadov
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{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## Archimedean Circumference\n",
"\n",
"Das wohl älteste bekannte Verfahren zur Bestimmung des Kreisumfanges geht auf Archimedes zurück (ca. 250 v.Chr) und approximiert den Kreisumfang mittels einbeschriebener regelmäßiger Polygone. Durch Verdopplung der Kanten wird die Approximation sukzessiv verbessert. In dieser Aufgabe wollen wir untersuchen, ob sich das Verfahren geeignet auf auf einem Computer implementieren lässt.\n",
"\n",
""
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"**1)** Wie lautet die Formel für den Umfang eines Kreises mit Radius $r$? Welchen Umfang hat der Einheitskreis?\n",
"___\n",
"\n",
"**2)** Gegeben sei der Einheitskreis und ein einbeschriebenes Quadrat (siehe Abbildung (a)). Berechnen Sie die Seitenlänge und den Umfang des einbeschriebenen Quadrates.\n",
"___\n",
"\n",
"**3)** Durch Verdopplung der Kanten erhält man aus dem Viereck ein Achteck dann ein Sechzehneck, usw (siehe Abbildung (b)). Leiten Sie eine Formel her, welche aus der Seitenlänge $s_n$ des $2^n$-Eck die Seitenlänge $s_{n+1}$ des $2^{n+1}$-Eck berechnet. \n",
"Hinweis: Überlegen Sie, wo sich in der Abbildung (c) rechte Winkel befinden und nutzen Sie den Satz des Pythagoras.\n",
"___\n",
"\n",
"**4)** Schreiben Sie ein Python Programm, welches unter Verwendung der hergeleiteten Formel den Kreisumfang möglichst genau approximiert. Geben Sie die jeweilige Approximation und den Fehler auf der Konsole für aufsteigende $n$ aus. Erzeugen Sie außerdem unter Verwendung von *matplotlib* einen Graph des Fehlers in Abhängigkeit von $n$. Welche Genauigkeit lässt sich maximal erreichen?\n",
"___\n",
"\n",
"**5)** Lässt sich Genauigkeit der Approximation noch verbessern?"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"#### Lösungen\n",
"\n",
"**1)** $U = 2\\pi r$. Der Umfang des Einheitskreises ist also: $2\\pi$\n",
"___\n",
"\n",
"**2)** Nach dem Satz von Pythagoras gilt: $s_2^2 = r^2 + r^2 = 1 + 1 = 2 \\quad \\Longrightarrow \\quad s_2 = \\sqrt{2}$\n",
"\n",
"Für den Umfang des Quadrates erhalten wir: $U = 2^2 \\sqrt{2} = 4\\sqrt{2} \\approx 5.656854$\n",
"___\n",
"\n",
"**3)** Da wir den Einheitskreis betrachten gilt: $\\overline{BA}=\\overline{BC}=\\overline{BD}=r=1$. Um $s_{n+1}$ aus $s_n$ zu erhalten, schauen wir uns Abbildung (c) an. Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras folgt:\n",
"$\\left( \\frac{s_n}{2} \\right)^{\\!\\!2} + \\overline{BE}^{\\,2} = \\overline{BA}^{\\,2} = 1$\n",
"\n",
"Außerdem gilt: $\\overline{ED} = \\overline{BD} - \\overline{BE} = 1 - \\overline{BE}$\n",
"\n",
"Erneute Anwendung des Satzes von Pythagoras ergibt dann:\n",
"$$s_{n+1}^2 = \\overline{ED}^{\\,2} + \\bigg( \\frac{s_n}{2} \\bigg)^{\\!\\!2}\n",
" = \\Big( 1 - \\overline{BE} \\Big)^{\\,2} + \\bigg( \\frac{s_n}{2} \\bigg)^{\\!\\!2}\\\\\n",
" = \\left( 1 - \\sqrt{1-\\bigg( \\frac{s_n}{2} \\bigg)^{\\!\\!2}} \\;\\right)^{\\!\\!2} + \\bigg( \\frac{s_n}{2} \\bigg)^{\\!\\!2}\\\\\n",
" = 1 - 2\\sqrt{1-\\bigg( \\frac{s_n}{2} \\bigg)^{\\!\\!2}} + 1 - \\bigg(\\frac{s_n}{2} \\bigg)^{\\!\\!2} + \\bigg( \\frac{s_n}{2} \\bigg)^{\\!\\!2}\\\\\n",
" = 2 - 2\\sqrt{1-\\bigg( \\frac{s_n}{2} \\bigg)^{\\!\\!2}}\n",
" = 2 - \\sqrt{4 - s_n^2}$$\n",
" \n",
"Für $s_{n+1}$ erhalten wir also: $s_{n+1} =\\sqrt{2-\\sqrt{4-s_n^2}}$\n",
"___\n",
"\n",
"**4)** Das folgende Python Programm approximiert den Kreisumfang. Dabei kommt es zu Auslöschung."
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"from math import sqrt, fabs, pi\n",
"import matplotlib.pyplot as plt\n",
"N = 30\n",
"err = []\n",
"sn = sqrt(2)\n",
"for n in range(2, N):\n",
" pn = (2 ** n) * sn\n",
" en = fabs(pn - 2.0 * pi)\n",
" err.append(en)\n",
" #print(\"{0:2d}\\t{1:1.20f}\\t{2:1.20e}\".format(n, pn, en))\n",
" sn = sqrt(2.0 - sqrt(4.0 - sn ** 2))\n",
"plt.figure(figsize=(6.0, 4.0))\n",
"plt.semilogy(range(2, N), err, \"rx\")\n",
"plt.xlim(2, N - 1)\n",
"plt.ylim(1e-16, 10)\n",
"plt.show()"
]
},
{
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"metadata": {},
"source": [
"Für $n \\le 15$ verbessert sich die Approximation sukzessive. Für $n > 15$ vergrößert sich der Fehler wieder. Gemessen an der Maschinengenauigkeit von $2^{-53}$ ist dies aus numerischer Sicht ein unzureichendes Ergebnis. Problematisch in der Gleichung für $s_{n+1}$ ist die Subtraktion unter der ersten Wurzel. Für kleine $s_n$ wird hier die Differenz von zwei fast gleich großen Zahlen gebildet. Um zu verstehen warum dies zu Problemen führt untersuchen wir im folgenden den relativen Fehler bei der Subtraktion. \n",
"\n",
"Es bezeichne $\\mathrm{rd} \\colon \\mathbb{R} \\to \\mathbb{M}$ die Rundungsfunktion welche einer reellen Zahl eine Gleitkommazahl in der gewählten Darstellung zuordnet. Der relative Fehler, welcher bei der Rundung entsteht, lässt sich dann angeben als:\n",
"$\\bar{\\varepsilon}_x = \\vert \\varepsilon_x \\vert = \\left\\vert \\frac{\\mathrm{rd}(x) - x}{x} \\right\\vert\n",
" \\quad\\text{bzw.}\\quad\n",
" \\mathrm{rd}(x) = x(1+\\varepsilon_x)$\n",
"\n",
"Für den relativen Fehler der Subtraktion zweier Gleitkommazahlen $x$ und $y$ ergibt sich dann:\n",
"$$\\varepsilon_{x-y}\n",
" =\\frac{\\mathrm{rd}\\big(\\mathrm{rd}(x) - \\mathrm{rd}(y)\\big) - (x - y)}{x - y} \\\\\n",
" =\\frac{\\big(x(1+\\varepsilon_x) - y(1+\\varepsilon_y)\\big)(1+\\varepsilon_-) - (x - y)}{x - y}\\\\\n",
" \\approx \\frac{x}{x - y}\\varepsilon_x - \\frac{y}{x - y} \\varepsilon_y + \\varepsilon_-\n",
"$$\n",
"\n",
"Ist also $x \\approx y$, dann sind $|\\tfrac{x}{x - y}|,|\\tfrac{y}{x - y}| > 1$ und es tritt eine Verstärkung des relativen Fehlers auf, welche als Auslöschung bezeichnet wird.\n",
"\n",
"___\n",
"**5)** Um die Auslöschung zu vermeiden erweitern wir die Gleichung für $s_{n+1}$ wie folgt:\n",
"$$ s_{n+1} \n",
" = \\sqrt{2-\\sqrt{4-s_n^2}}\n",
" \\\\\n",
" = \\sqrt{2-\\sqrt{4-s_n^2}} \\cdot \\frac{\\sqrt{2+\\sqrt{4-s_n^2}}}{\\sqrt{2+\\sqrt{4-s_n^2}}}\n",
" \\\\\n",
" = \\frac{\\sqrt{2^2 - \\sqrt{4-s_n^2}^2}}{\\sqrt{2+\\sqrt{4-s_n^2}}}\n",
" \\\\\n",
" = \\frac{|s_n|}{\\sqrt{2+\\sqrt{4-s_n^2}}}\n",
"$$\n",
"Das folgende Programm zeigt den Effekt der Erweiterung."
]
},
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"cell_type": "code",
"execution_count": null,
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"outputs": [],
"source": [
"from math import sqrt, fabs, pi\n",
"import matplotlib.pyplot as plt\n",
"N = 40\n",
"err = []\n",
"sn = sqrt(2)\n",
"for n in range(2, N):\n",
" pn = 2 ** n * sn\n",
" en = fabs(pn - 2.0 * pi)\n",
" err.append(en)\n",
" #print(\"{0:2d}\\t{1:1.20f}\\t{2:1.20e}\".format(n, pn, en))\n",
" sn = sn / sqrt(2 + sqrt(4 - sn ** 2))\n",
"plt.figure(figsize=(6.0, 4.0))\n",
"plt.semilogy(range(2, N), err, \"bx\")\n",
"plt.xlim(2, N - 1)\n",
"plt.ylim(1e-16, 10)\n",
"plt.show()"
]
},
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"## Machine precision"
]
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{
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"execution_count": null,
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"import numpy as np\n",
"\n",
"# Machine precision epsilon\n",
"print(np.finfo(np.float32).eps)\n",
"print(np.finfo(np.float64).eps)"
]
},
{
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"execution_count": null,
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"outputs": [],
"source": [
"# Smallest and largest fp number\n",
"print(np.finfo(np.float32).min, np.finfo(np.float32).max)\n",
"print(np.finfo(np.float64).min, np.finfo(np.float64).max)"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Absolute smallest fp number\n",
"print(np.finfo(np.float32).tiny)\n",
"print(np.finfo(np.float64).tiny)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
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"source": [
"## Catastrophic Cancellation"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"import decimal\n",
"from decimal import Decimal\n",
"decimal.getcontext().prec = 3\n",
"\n",
"A = 1.22\n",
"B = 3.34\n",
"C = 2.28\n",
"X = B * B - 4.0 * A * C\n",
"\n",
"a = Decimal(A)\n",
"b = Decimal(B)\n",
"c = Decimal(C)\n",
"x = b * b - 4 * a *c\n",
"\n",
"print(type(X), X)\n",
"print(type(x), x)"
]
}
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"kernelspec": {
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"language_info": {
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