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angepasstes Argument im Beweis von Peano und Scorza-Dragoni

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\indexentry{Fixpunktsatz von \textsc{Banach}|hyperpage}{26}
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\indexentry{Propagator|hyperpage}{35}
\indexentry{Fundamentalsystem|hyperpage}{45}
\indexentry{Wronski-Determinante@\textsc{Wronski}-Determinante|hyperpage}{45}
\indexentry{Formel von \textsc {Liouville}|hyperpage}{45}
\indexentry{gleichgradig stetig|hyperpage}{49}
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\indexentry{erstes Integral|hyperpage}{102}
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\indexentry{Greensche Funktion@\textsc{Green}sche Funktion|hyperpage}{111}
\indexentry{Fixpunktsatz von \textsc{Banach}|hyperpage}{113}
\indexentry{Greensche Funktion@\textsc{Green}sche Funktion!verallgemeinert|hyperpage}{114}
\indexentry{Fixpunktsatz von \textsc{Banach}|hyperpage}{122}
\indexentry{Fixpunktsatz von \textsc{Schauder}|hyperpage}{124}
......@@ -347,7 +347,7 @@ Ist $T$ linear, so folgt \circled{1} aus \circled{2}.
\end{equation*}
\underline{Kompaktheit von $T$.}
Da $T \colon A \to A$ eine Selbstabbildung und $A$ (gleichmäßig) beschränkt ist, genügt es zu zeigen, dass $T(A) \subset A \subset \C(I, \R^d)$ \hyperref[defn:relativ]{relativ kompakt} ist.
Da $T \colon A \to A$ eine Selbstabbildung ist, genügt es zu zeigen, dass $T(A) \subset A \subset \C(I, \R^d)$ \hyperref[defn:relativ]{relativ kompakt} ist. Dann gilt auch für jede beschränkte Teilmenge $B \subset A$ (was aufgrund der Beschränktheit von $A$ jede Teilmenge ist), dass $T(B) \subset T(A)$ relativ kompakt ist.
Wir wenden nun den Satz von \textsc{Arzelá-Ascoli} an.
$T(A)$ ist gleichmäßig beschränkt, da $T(A) \subset A$ gilt und $A$ beschränkt ist.
......
......@@ -170,7 +170,7 @@ Der Unterschied der folgenden Sätze, welche Anwendungen der Fixpunktsätze von
da $| v(\xi) - w(\xi) | + | v'(\xi) - w'(\xi) | < \delta$ gilt.
Wir zeigen nun, dass $T$ beschränkte Mengen in \hyperref[defn:relativ]{relativ kompakt}e Mengen überführt.
Da $A$ beschränkt ist, genügt es zu zeigen, dass $T(A) \subset \C^1([a, b]; \R)$ \hyperref[defn:relativ]{relativ kompakt} ist.
Es genügt zu zeigen, dass $T(A) \subset \C^1([a, b]; \R)$ \hyperref[defn:relativ]{relativ kompakt} ist, da dann für jede beschränkte Teilmenge $B \subset A$ (was aufgrund der Beschränktheit von $A$ jede Teilmenge ist) folgt, dass $T(B) \subset T(A)$ relativ kompakt ist.
Da wir in $\C^1([a, b]; \R)$ arbeiten, können wir den Satz von \hyperref[th:AA]{\textsc{Arzelà-Ascoli}} nicht direkt anwenden.
Deshalb wenden wir ihn zweimal an: einmal auf die Funktionenfolge und dann auf die Folge ihrer Ableitungen.
\begin{enumerate}[label = \protect\circled{\alph*}]
......
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