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\begin{theindex}
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\item \textsc{Carathéodory}-Bedingung\dotfill \hyperpage{76}
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\item elliptisch\dotfill \hyperpage{12}
\item erstes Integral\dotfill \hyperpage{102}
\item Exponentialansatz\dotfill \hyperpage{7}
\item exponentiell stabil\dotfill \hyperpage{97}
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\item Fixpunktsatz von \textsc{Banach}\dotfill \hyperpage{26--28},
\hyperpage{113}, \hyperpage{122}
\item Fixpunktsatz von \textsc{Schauder}\dotfill \hyperpage{50},
\hyperpage{54}, \hyperpage{56}, \hyperpage{79},
\hyperpage{124}
\item Formel von \textsc {Liouville}\dotfill \hyperpage{45}
\item Fortsetzung\dotfill \hyperpage{62}
\item Fundamentalsystem\dotfill \hyperpage{45}
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\item Gleichgewichtspunkt\dotfill \hyperpage{96}
\item gleichgradig stetig\dotfill \hyperpage{49}
\item Graph\dotfill \hyperpage{62}
\item \textsc{Green}sche Funktion\dotfill \hyperpage{111}
\subitem verallgemeinert\dotfill \hyperpage{114}
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\item kompakt\dotfill \hyperpage{51}
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\item \textsc{Ljapunov}-Funktion\dotfill \hyperpage{102}
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\item \textsc{Nemyzki}-Operator\dotfill \hyperpage{24}
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\item Ordnung\dotfill \hyperpage{4}
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\item Propagator\dotfill \hyperpage{35}
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\item quasilinear\dotfill \hyperpage{4}
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\item Randbedingung\dotfill \hyperpage{3}
\item relativ kompakt\dotfill \hyperpage{21}
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\item semilinear\dotfill \hyperpage{4}
\item Superpositionsprinzip\dotfill \hyperpage{6}
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\item Teilfolgenprinzip\dotfill \hyperpage{105}
\item Totalvariationsfunktion\dotfill \hyperpage{74}
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\item Variation der Konstanten\dotfill \hyperpage{9}
\item vollständig nichtlinear\dotfill \hyperpage{5}
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\nopagebreak
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\item Wellengleichung\dotfill \hyperpage{13}
\item \textsc{Wronski}-Determinante\dotfill \hyperpage{45}
\item Wärmegleichung\dotfill \hyperpage{13}
\end{theindex}
\babel@toc {ngerman}{}
\contentsline {figure}{\numberline {1}{\ignorespaces Das SIR-Modell.}}{3}{figure.caption.2}%
\contentsline {figure}{\numberline {2}{\ignorespaces Durchbiegung einer Platte.}}{3}{figure.caption.3}%
\contentsline {figure}{\numberline {3}{\ignorespaces Eine Lösungsfamilie einer partiellen Differentialgleichung im $(t, x, u(t, x))$-Koordinatensystem.\relax }}{11}{figure.caption.21}%
\contentsline {figure}{\numberline {4}{\ignorespaces Die Charakteristiken sind Geraden mit Steigung $\lambda \mathrel {\mathop :}\mathrel {\mkern -1.2mu}=2$.\relax }}{11}{figure.caption.24}%
\contentsline {figure}{\numberline {5}{\ignorespaces Die Charakteristiken von \textup {\hbox {\mathsurround \z@ \normalfont (\ignorespaces \ref {eq:zweite}\unskip \@@italiccorr )}}.\relax }}{12}{figure.caption.26}%
\contentsline {figure}{\numberline {6}{\ignorespaces Eine schwingende Saite und eine anfängliche Auslenkung.}}{13}{figure.caption.29}%
\contentsline {figure}{\numberline {7}{\ignorespaces Die \textsc {D'Alembert}-Lösung für $v_0 \equiv 0$.}}{15}{figure.caption.31}%
\contentsline {figure}{\numberline {8}{\ignorespaces Visuelle Interpretation der \textsc {D'Alembert}-Lösung.}}{15}{figure.caption.32}%
\contentsline {figure}{\numberline {9}{\ignorespaces Die Funktion $u \in \C ({[a, b]}; \R )$ und die Treppenfunktion $u^{(4)}$.}}{18}{figure.caption.33}%
\contentsline {figure}{\numberline {10}{\ignorespaces Die blaue Menge ist die konvexe Hülle der roten Menge.}}{20}{figure.caption.36}%
\contentsline {figure}{\numberline {11}{\ignorespaces Veranschaulichung von \Cref {lemma:convHull} mit zwei verschiedenen Funktionen.\relax }}{21}{figure.caption.37}%
\contentsline {figure}{\numberline {12}{\ignorespaces Das Anfangswertproblem \textup {\hbox {\mathsurround \z@ \normalfont (\ignorespaces \ref {eq:lipschitz}\unskip \@@italiccorr )}}.\relax }}{25}{figure.caption.39}%
\contentsline {figure}{\numberline {13}{\ignorespaces Vier verschiedene Lösung von \textup {\hbox {\mathsurround \z@ \normalfont (\ignorespaces \ref {eq:unendlich}\unskip \@@italiccorr )}}.}}{27}{figure.caption.43}%
\contentsline {figure}{\numberline {14}{\ignorespaces TODO\relax }}{29}{figure.caption.49}%
\contentsline {figure}{\numberline {15}{\ignorespaces Die Lösung von \textup {\hbox {\mathsurround \z@ \normalfont (\ignorespaces \ref {eq:tan}\unskip \@@italiccorr )}} ist der Tangens.\relax }}{30}{figure.caption.51}%
\contentsline {figure}{\numberline {16}{\ignorespaces TODO\relax }}{58}{figure.caption.68}%
\contentsline {figure}{\numberline {17}{\ignorespaces Der Fall 2a.\relax }}{64}{figure.caption.71}%
\contentsline {figure}{\numberline {18}{\ignorespaces TODO: $(\star )$ verdeutlichen\relax }}{66}{figure.caption.75}%
\contentsline {figure}{\numberline {19}{\ignorespaces Die Funktion \textup {\hbox {\mathsurround \z@ \normalfont (\ignorespaces \ref {eq:sin}\unskip \@@italiccorr )}}.\relax }}{67}{figure.caption.76}%
\contentsline {figure}{\numberline {20}{\ignorespaces Man kann die Funktion $f$ nicht zeichnen, sonst nur approximieren, da sie "`rekursiv"' definiert ist.\relax }}{67}{figure.caption.78}%
\contentsline {figure}{\numberline {21}{\ignorespaces [Quelle: WolframAlpha]\relax }}{86}{figure.caption.95}%
\contentsline {figure}{\numberline {22}{\ignorespaces [Quelle: WolframAlpha]\relax }}{86}{figure.caption.96}%
\contentsline {figure}{\numberline {23}{\ignorespaces Das mathematische Pendel.\relax }}{96}{figure.caption.107}%
\contentsline {figure}{\numberline {24}{\ignorespaces TODO.\relax }}{97}{figure.caption.108}%
\contentsline {figure}{\numberline {25}{\ignorespaces Es gilt $u(0) = 1$ und $u(\pi ) = -1$ für $u(t) \mathrel {\mathop :}\mathrel {\mkern -1.2mu}=\qopname \relax o{cos}(t) + a \qopname \relax o{sin}(t)$ für alle $a \in \R $.}}{108}{figure.caption.117}%
\contentsline {figure}{\numberline {26}{\ignorespaces Die \textsc {Green}sche Funktion für $a = -4, b = 4$. \relax }}{111}{figure.caption.121}%
\contentsfinish
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\BOOKMARK [1][-]{Doc-Start}{Einf\374hrung}{}% 1
\BOOKMARK [1][-]{section.0}{Beispiele und Klassifikation}{}% 2
\BOOKMARK [2][-]{subsection.0.1}{Klassifizierung}{section.0}% 3
\BOOKMARK [1][-]{section.1}{Elementare L\366sungsmethoden f\374r gew\366hnliche und partielle Differentialgleichungen}{}% 4
\BOOKMARK [2][-]{subsection.1.1}{Lineare gew\366hnliche Differentialgleichungen}{section.1}% 5
\BOOKMARK [2][-]{subsection.1.2}{Nichtlineare gew\366hnliche Differentialgleichungen}{section.1}% 6
\BOOKMARK [2][-]{subsection.1.3}{Charakteristikenverfahren f\374r quasilineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung in zwei Variablen}{section.1}% 7
\BOOKMARK [2][-]{subsection.1.4}{Die drei Grundtypen linearer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung in zwei Variablen}{section.1}% 8
\BOOKMARK [1][-]{section.2}{Existenz und Eindeutigkeit bei Anfangswertproblemen f\374r gew\366hnliche und Operator-Differentialgleichungen}{}% 9
\BOOKMARK [2][-]{subsection.2.1}{Das Integral f\374r stetige Funktionen mit Werten in einem Banach-Raum}{section.2}% 10
\BOOKMARK [2][-]{subsection.2.2}{Die S\344tze von Picard-Lindel\366f: Lokale und globale eindeutige L\366sbarkeit von Anfangswertproblemen}{section.2}% 11
\BOOKMARK [2][-]{subsection.2.3}{Lineare Systeme mit beschr\344nkten Operatoren}{section.2}% 12
\BOOKMARK [2][-]{subsection.2.4}{Der Satz von Peano}{section.2}% 13
\BOOKMARK [2][-]{subsection.2.5}{Einzigkeitsaussagen}{section.2}% 14
\BOOKMARK [2][-]{subsection.2.6}{Maximale fortsetzte L\366sungen und das Verhalten am Rand des maximalen Existenzbereichs}{section.2}% 15
\BOOKMARK [2][-]{subsection.2.7}{Der Hauptsatz f\374r absolutstetige Funktionen}{section.2}% 16
\BOOKMARK [2][-]{subsection.2.8}{L\366sbarkeit in Sinne von Carath\351odory}{section.2}% 17
\BOOKMARK [1][-]{section.3}{Abh\344ngigkeit der L\366sung von den Daten, Stabilit\344t und Zeitdiskretisierung}{}% 18
\BOOKMARK [2][-]{subsection.3.1}{Das Lemma von Gronwall \(diesmal richtig\)}{section.3}% 19
\BOOKMARK [2][-]{subsection.3.2}{Stetige Abh\344ngigkeit der L\366sung von den Daten}{section.3}% 20
\BOOKMARK [2][-]{subsection.3.3}{Dissipative Systeme}{section.3}% 21
\BOOKMARK [2][-]{subsection.3.4}{Zeitdiskretisierung durch einfache Einschrittverfahren}{section.3}% 22
\BOOKMARK [2][-]{subsection.3.5}{Stabilit\344t und der Satz von Ljapunov, asymptotisches Verhalten}{section.3}% 23
\BOOKMARK [1][-]{section.4}{Randwertprobleme f\374r gew\366hnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung}{}% 24
\BOOKMARK [2][-]{subsection.4.1}{Grundbegriffe und elementare Aussagen}{section.4}% 25
\BOOKMARK [2][-]{subsection.4.2}{Randwertprobleme f\374r homogene lineare Differentialgleichungen mit inhomogenen Dirichlet Randbedingungen}{section.4}% 26
\BOOKMARK [2][-]{subsection.4.3}{Die Greensche Funktion}{section.4}% 27
\BOOKMARK [2][-]{subsection.4.4}{Greensche Funktion f\374r inhomogene lineare Randwertprobleme}{section.4}% 28
\BOOKMARK [2][-]{subsection.4.5}{Das Maximumprinzip}{section.4}% 29
\BOOKMARK [2][-]{subsection.4.6}{Allgemeine semilineare Randwertprobleme}{section.4}% 30
\BOOKMARK [1][-]{Item.208}{Abbildungsverzeichnis}{}% 31
\BOOKMARK [1][-]{Item.208}{Index}{}% 32
\BOOKMARK [1][-]{Item.208}{Literatur}{}% 33
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\babel@toc {ngerman}{}
\contentsline {section}{Einführung}{1}{Doc-Start}%
\contentsline {section}{\numberline {0}Beispiele und Klassifikation}{2}{section.0}%
\contentsline {subsection}{\numberline {0.1}Klassifizierung}{4}{subsection.0.1}%
\contentsline {section}{\numberline {1}Elementare Lösungsmethoden für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen}{6}{section.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.1}Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen}{6}{subsection.1.1}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {1.1.1}Das homogene Problem}{7}{subsubsection.1.1.1}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {1.1.2}Das inhomogene Problem}{9}{subsubsection.1.1.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.2}Nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen}{10}{subsection.1.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.3}Charakteristikenverfahren für quasilineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung in zwei Variablen}{11}{subsection.1.3}%
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\contentsline {section}{\numberline {2}Existenz und Eindeutigkeit bei Anfangswertproblemen für gewöhnliche und Operator-Differentialgleichungen}{17}{section.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}Das Integral für stetige Funktionen mit Werten in einem \textsc {Banach}-Raum}{17}{subsection.2.1}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.1.1}Eigenschaften des Integrals}{19}{subsubsection.2.1.1}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.1.2}Der \textsc {Nemyzki}-Operator}{24}{subsubsection.2.1.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.2}Die Sätze von \textsc {Picard-Lindelöf}: Lokale und globale eindeutige Lösbarkeit von Anfangswertproblemen}{25}{subsection.2.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.3}Lineare Systeme mit beschränkten Operatoren}{33}{subsection.2.3}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.3.1}Der Propagator}{34}{subsubsection.2.3.1}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.3.2}Das inhomogene Problem und die Formel von \textsc {Duhamel}}{42}{subsubsection.2.3.2}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.3.3}Das endlichdimensionale Problem $(X = \R ^d$)}{44}{subsubsection.2.3.3}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.3.4}Der autonome Fall}{47}{subsubsection.2.3.4}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.4}Der Satz von \textsc {Peano}}{49}{subsection.2.4}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.4.1}Fixpunktsätze}{50}{subsubsection.2.4.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.5}Einzigkeitsaussagen}{58}{subsection.2.5}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.6}Maximale fortsetzte Lösungen und das Verhalten am Rand des maximalen Existenzbereichs}{61}{subsection.2.6}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.6.1}Vorbereitung: Halbordnungen und das Lemma von \textsc {Zorn}}{61}{subsubsection.2.6.1}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.6.2}Maximal fortgesetzte Lösungen}{62}{subsubsection.2.6.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.7}Der Hauptsatz für absolutstetige Funktionen}{67}{subsection.2.7}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.8}Lösbarkeit in Sinne von \textsc {Carathéodory}}{76}{subsection.2.8}%
\contentsline {section}{\numberline {3}Abhängigkeit der Lösung von den Daten, Stabilität und Zeitdiskretisierung}{80}{section.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.1}Das Lemma von \textsc {Gronwall} (diesmal richtig)}{80}{subsection.3.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.2}Stetige Abhängigkeit der Lösung von den Daten}{83}{subsection.3.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.3}Dissipative Systeme}{86}{subsection.3.3}%
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\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.4.1}Das explizite \textsc {Euler}-Verfahren}{90}{subsubsection.3.4.1}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.4.2}Das implizite \textsc {Euler}-Verfahren}{92}{subsubsection.3.4.2}%
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\contentsline {section}{\numberline {4}Randwertprobleme für gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung}{106}{section.4}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {4.6}Allgemeine semilineare Randwertprobleme}{121}{subsection.4.6}%
\contentsline {section}{Abbildungsverzeichnis}{i}{Item.208}%
\contentsline {section}{Index}{ii}{Item.208}%
\contentsline {section}{Literatur}{iii}{Item.208}%
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