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Notation der Osgood-Bedinung an die Notation von W.F. Osgood angepasst,...

Notation der Osgood-Bedinung an die Notation von W.F. Osgood angepasst, verwechslungsgefahr mit w verhindert
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Eine Funktion $f \colon J \times D \to X$ genügt einer \emph{\textsc{Osgood}-Bedingung}, wenn
\begin{equation} \label{eq:ungl}
\| f(t, v) - f(t, w) \|
\le w(\| v - w \|)
\le \omega(\| v - w \|)
\end{equation}
für alle $t \in J$ und $v, w \in D$ gilt, wobei $w \colon [0, \infty) \to \R$ die folgenden Eigenschaften erfüllt:
für alle $t \in J$ und $v, w \in D$ gilt, wobei $\omega \colon [0, \infty) \to \R$ die folgenden Eigenschaften erfüllt:
\begin{enumerate}
\item
Es gilt $w(0) = 0$ und $w(z) > 0$ für alle $z > 0$.
Es gilt $\omega(0) = 0$ und $\omega(z) > 0$ für alle $z > 0$.
\item
Die Funktion $w$ ist monoton wachsend.
Die Funktion $\omega$ ist monoton wachsend.
\item
Es gilt $w(x + y) \le w(x) + w(y)$ für alle $x, y \in [0, \infty)$.
Es gilt $\omega(x + y) \le \omega(x) + \omega(y)$ für alle $x, y \in [0, \infty)$.
\item
Es gilt
\begin{equation*}
\lim_{\eps \searrow 0} \int_{\eps}^{1} \frac{1}{w(z)} \diff{z} = \infty.
\lim_{\eps \searrow 0} \int_{\eps}^{1} \frac{1}{\omega(z)} \diff{z} = \infty.
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{defn}
\begin{remark}[Die Funktion $w$]
Da $w(0) = 0$ ist, hat die Funktion $\frac{1}{w}$ eine Singularität bei $0$.
\begin{remark}[Die Funktion $\omega$]
Da $\omega(0) = 0$ ist, hat die Funktion $\frac{1}{\omega}$ eine Singularität bei $0$.
Die vierte Bedingung sagt aus, dass diese Singularität "`so schlimm"' sein muss, dass das uneigentliche Integral divergiert.
Zum Beispiel erfüllt $w(z) \coloneqq \sqrt{z}$ diese Eigenschaft nicht, da $w$ nicht "`schnell genug"' gegen 0 geht.
Hingegen erfüllt $w(z) = L z$ die vierte Bedingung und dann ist die \textsc{Osgood}-Bedingung genau eine \textsc{Lipschitz}-Bedingung.
Daher verallgemeinert der folgende Satz den vorangegangenen, da zum Beispiel auch $w(z) \coloneqq L z \ln(z^{-1})$ die obigen Bedingungen erfüllt.
Zum Beispiel erfüllt $\omega(z) \coloneqq \sqrt{z}$ diese Eigenschaft nicht, da $w$ nicht "`schnell genug"' gegen 0 geht.
Hingegen erfüllt $\omega(z) = L z$ die vierte Bedingung und dann ist die \textsc{Osgood}-Bedingung genau eine \textsc{Lipschitz}-Bedingung.
Daher verallgemeinert der folgende Satz den vorangegangenen, da zum Beispiel auch $\omega(z) \coloneqq L z \ln(z^{-1})$ die obigen Bedingungen erfüllt.
\end{remark}
\begin{thm}{Eindeutigkeitssatz von Osgood}{Osgood}
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\begin{pr}
Als Hausaufgabe formuliert man den Beweis der ursprünglichen ähnlichen Aussagen aus \textit{Osgood, W.F.: Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung $\frac{\diff y}{\diff x} = f(x, y)$ ohne Hinzunahme der \textsc{Cauchy-Lipschitz}'schen Bedingung.} (Monatsh. f. Mathematik und Physik 9, 331–345 (1898)) in unserer Sprache.
In der ursprünglichen Fassung ist $w$ auf $\R$ definiert und erfüllt $w(-x) = w(x)$ anstatt der Bedingungen \hyperref[defn:osgood]{\circled{2} und \circled{3}}.
In der ursprünglichen Fassung ist $\omega$ auf $\R$ definiert und erfüllt $\omega(-x) = \omega(x)$ anstatt der Bedingungen \hyperref[defn:osgood]{\circled{2} und \circled{3}}.
Ferner soll die Ungleichung \eqref{eq:ungl} für $x \in [t_0 + \rho, t_0 - \rho]$ und $v, w \in [u_0 - s, u_0 + s]$ gelten.
\end{pr}
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