Commit 08f45cb7 authored by andre_eikmeier's avatar andre_eikmeier
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\pgfsyspdfmark {pgfid375}{5594039}{31183827}
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\newlabel{eq:linkonv@cref}{{[equation][69][]69}{[1][90][]90}}
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\global\def\marklviiprvi{\ensuremath {\Box }}
\global\def\marklviiprvii{\ensuremath {\Box }}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.4.2}Das implizite \textsc {Euler}-Verfahren}{92}{subsubsection.3.4.2}\protected@file@percent }
\newlabel{th:implEuler}{{3.4.2}{92}{Das implizite \textsc {Euler}-Verfahren}{tcb@cnt@thm.3.4.2}{}}
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\newlabel{eq:inhomogenhomogenRB}{{89}{114}{\textsc {Green}sche Funktion für inhomogene lineare Randwertprobleme}{equation.4.89}{}}
\newlabel{eq:inhomogenhomogenRB@cref}{{[equation][89][]89}{[1][114][]114}}
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\@writefile{thm}{\contentsline {defn}{{Definition}{4.4.1}{Verallgemeinerte \textsc {Green}sche Funktion}}{114}{dummy.4.4.1}\protected@file@percent }
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\@writefile{thm}{\contentsline {example}{{Beispiel}{4.4.2}{Verallgemeinerte \textsc {Green}sche Funktion}}{115}{dummy.4.4.2}\protected@file@percent }
......@@ -986,61 +986,61 @@
\newlabel{logo:Fredholm}{{4.4}{115}{\textsc {Green}sche Funktion für inhomogene lineare Randwertprobleme}{bclogocompteur.12}{}}
\newlabel{logo:Fredholm@cref}{{[subsection][4][4]4.4}{[1][115][]115}}
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\@writefile{thm}{\contentsline {remark}{{Bemerkung}{4.4.6}{Andere Randbedingungen}}{115}{dummy.4.4.6}\protected@file@percent }
\@writefile{thm}{\contentsline {tcolorbox}{\numberline {4.4.1}}{115}{tcb@cnt@thm.4.4.1}\protected@file@percent }
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\newmarginnote{note.118.1}{{118}{5594039sp}}
\@writefile{thm}{\contentsline {lemma}{{Lemma}{4.5.1}{Differentialungleichung für $d = 0$}}{116}{dummy.4.5.1}\protected@file@percent }
\newlabel{lemma:maxprin}{{4.5.1}{116}{Das Maximumprinzip}{dummy.4.5.1}{}}
\newlabel{lemma:maxprin@cref}{{[lemma][1][4,5]4.5.1}{[1][116][]116}}
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\@writefile{thm}{\contentsline {pr}{{Beweis.}{73}{}}{116}{pr.73}\protected@file@percent }
\newlabel{itm:zwei}{{{{\circled {2}}}}{116}{Das Maximumprinzip}{Item.188}{}}
\newlabel{itm:zwei@cref}{{[enumi][2][]{{\circled {2}}}}{[1][116][]116}}
\@writefile{thm}{\contentsline {pr}{{Beweis.}{72}{}}{116}{pr.72}\protected@file@percent }
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\newmarginnote{note.119.1}{{119}{5594039sp}}
\@writefile{thm}{\contentsline {lemma}{{Lemma}{4.5.1}{Differentialungleichung für $d = 0$}}{117}{dummy.4.5.1}\protected@file@percent }
\newlabel{lemma:maxprin}{{4.5.1}{117}{Das Maximumprinzip}{dummy.4.5.1}{}}
\newlabel{lemma:maxprin@cref}{{[lemma][1][4,5]4.5.1}{[1][117][]117}}
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\@writefile{thm}{\contentsline {pr}{{Beweis.}{73}{}}{117}{pr.73}\protected@file@percent }
\newlabel{itm:zwei}{{{{\circled {2}}}}{117}{Das Maximumprinzip}{Item.188}{}}
\newlabel{itm:zwei@cref}{{[enumi][2][]{{\circled {2}}}}{[1][117][]117}}
\global\def\marklxxiiiprvi{\ensuremath {\Box }}
\newlabel{th:maximum}{{4.5.1}{116}{Maximumprinzip}{tcb@cnt@thm.4.5.1}{}}
\newlabel{th:maximum@cref}{{[thm][1][4,5]4.5.1}{[1][116][]116}}
\@writefile{thm}{\contentsline {tcolorbox}{\numberline {4.5.1}Maximumprinzip}{116}{tcb@cnt@thm.4.5.1}\protected@file@percent }
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\newlabel{th:maximum}{{4.5.1}{117}{Maximumprinzip}{tcb@cnt@thm.4.5.1}{}}
\newlabel{th:maximum@cref}{{[thm][1][4,5]4.5.1}{[1][117][]117}}
\@writefile{thm}{\contentsline {tcolorbox}{\numberline {4.5.1}Maximumprinzip}{117}{tcb@cnt@thm.4.5.1}\protected@file@percent }
\@writefile{thm}{\contentsline {pr}{{Beweis.}{74}{}}{118}{pr.74}\protected@file@percent }
\global\def\marklxxivpriv{\ensuremath {\Box }}
\@writefile{thm}{\contentsline {cor}{{Korollar}{4.5.3}{$d \ge 0$ genügt für eindeutige Lösbarkeit von \eqref {eq:homohomo}}}{117}{dummy.4.5.3}\protected@file@percent }
\@writefile{thm}{\contentsline {cor}{{Korollar}{4.5.4}{Monotonie}}{117}{dummy.4.5.4}\protected@file@percent }
\@writefile{thm}{\contentsline {pr}{{Beweis.}{75}{}}{117}{pr.75}\protected@file@percent }
\newlabel{th:stabRWP}{{4.5.2}{117}{Stabilitätssaussage}{tcb@cnt@thm.4.5.2}{}}
\newlabel{th:stabRWP@cref}{{[thm][2][4,5]4.5.2}{[1][117][]117}}
\@writefile{thm}{\contentsline {tcolorbox}{\numberline {4.5.2}Stabilitätssaussage}{117}{tcb@cnt@thm.4.5.2}\protected@file@percent }
\@writefile{thm}{\contentsline {remark}{{Bemerkung}{4.5.5}{}}{118}{dummy.4.5.5}\protected@file@percent }
\@writefile{thm}{\contentsline {pr}{{Beweis.}{76}{}}{118}{pr.76}\protected@file@percent }
\@writefile{thm}{\contentsline {cor}{{Korollar}{4.5.3}{$d \ge 0$ genügt für eindeutige Lösbarkeit von \eqref {eq:homohomo}}}{118}{dummy.4.5.3}\protected@file@percent }
\@writefile{thm}{\contentsline {cor}{{Korollar}{4.5.4}{Monotonie}}{118}{dummy.4.5.4}\protected@file@percent }
\@writefile{thm}{\contentsline {pr}{{Beweis.}{75}{}}{118}{pr.75}\protected@file@percent }
\newlabel{th:stabRWP}{{4.5.2}{118}{Stabilitätssaussage}{tcb@cnt@thm.4.5.2}{}}
\newlabel{th:stabRWP@cref}{{[thm][2][4,5]4.5.2}{[1][118][]118}}
\@writefile{thm}{\contentsline {tcolorbox}{\numberline {4.5.2}Stabilitätssaussage}{118}{tcb@cnt@thm.4.5.2}\protected@file@percent }
\@writefile{thm}{\contentsline {remark}{{Bemerkung}{4.5.5}{}}{119}{dummy.4.5.5}\protected@file@percent }
\@writefile{thm}{\contentsline {pr}{{Beweis.}{76}{}}{119}{pr.76}\protected@file@percent }
\global\def\marklxxviprix{\ensuremath {\Box }}
\@writefile{thm}{\contentsline {lemma}{{Lemma}{4.5.6}{}}{119}{dummy.4.5.6}\protected@file@percent }
\newlabel{lemma:vorbereitung2}{{4.5.6}{119}{Das Maximumprinzip}{dummy.4.5.6}{}}
\newlabel{lemma:vorbereitung2@cref}{{[lemma][6][4,5]4.5.6}{[1][118][]119}}
\@writefile{thm}{\contentsline {pr}{{Beweis.}{77}{}}{119}{pr.77}\protected@file@percent }
\newlabel{th:starkMax}{{4.5.3}{119}{Starkes Maximumprinzip}{tcb@cnt@thm.4.5.3}{}}
\newlabel{th:starkMax@cref}{{[thm][3][4,5]4.5.3}{[1][119][]119}}
\@writefile{thm}{\contentsline {tcolorbox}{\numberline {4.5.3}Starkes Maximumprinzip}{119}{tcb@cnt@thm.4.5.3}\protected@file@percent }
\@writefile{thm}{\contentsline {pr}{{Beweis.}{78}{}}{119}{pr.78}\protected@file@percent }
\@writefile{thm}{\contentsline {lemma}{{Lemma}{4.5.6}{}}{120}{dummy.4.5.6}\protected@file@percent }
\newlabel{lemma:vorbereitung2}{{4.5.6}{120}{Das Maximumprinzip}{dummy.4.5.6}{}}
\newlabel{lemma:vorbereitung2@cref}{{[lemma][6][4,5]4.5.6}{[1][119][]120}}
\@writefile{thm}{\contentsline {pr}{{Beweis.}{77}{}}{120}{pr.77}\protected@file@percent }
\newlabel{th:starkMax}{{4.5.3}{120}{Starkes Maximumprinzip}{tcb@cnt@thm.4.5.3}{}}
\newlabel{th:starkMax@cref}{{[thm][3][4,5]4.5.3}{[1][120][]120}}
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\global\def\marklxxviiiprvi{\ensuremath {\Box }}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {4.6}Allgemeine semilineare Randwertprobleme}{120}{subsection.4.6}\protected@file@percent }
\newlabel{eq:semi}{{91}{120}{Allgemeine semilineare Randwertprobleme}{equation.4.91}{}}
\newlabel{eq:semi@cref}{{[equation][91][]91}{[1][120][]120}}
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\newlabel{th:eind}{{4.6.1}{120}{Eindeutige Lösbarkeit}{tcb@cnt@thm.4.6.1}{}}
\newlabel{th:eind@cref}{{[thm][1][4,6]4.6.1}{[1][120][]120}}
\@writefile{thm}{\contentsline {tcolorbox}{\numberline {4.6.1}Eindeutige Lösbarkeit}{120}{tcb@cnt@thm.4.6.1}\protected@file@percent }
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\newlabel{eq:L@cref}{{[equation][92][]92}{[1][120][]120}}
\@writefile{thm}{\contentsline {remark}{{Bemerkung}{4.6.2}{}}{120}{dummy.4.6.2}\protected@file@percent }
\@writefile{thm}{\contentsline {pr}{{Beweis.}{79}{}}{120}{pr.79}\protected@file@percent }
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\newlabel{eq:semi}{{91}{121}{Allgemeine semilineare Randwertprobleme}{equation.4.91}{}}
\newlabel{eq:semi@cref}{{[equation][91][]91}{[1][121][]121}}
\@writefile{thm}{\contentsline {remark}{{Bemerkung}{4.6.1}{}}{121}{dummy.4.6.1}\protected@file@percent }
\newlabel{th:eind}{{4.6.1}{121}{Eindeutige Lösbarkeit}{tcb@cnt@thm.4.6.1}{}}
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\newlabel{eq:L}{{92}{121}{Eindeutige Lösbarkeit}{equation.4.92}{}}
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\@writefile{thm}{\contentsline {remark}{{Bemerkung}{4.6.2}{}}{121}{dummy.4.6.2}\protected@file@percent }
\@writefile{thm}{\contentsline {pr}{{Beweis.}{79}{}}{121}{pr.79}\protected@file@percent }
\global\def\marklxxixprvii{\ensuremath {\Box }}
\newlabel{th:Scorza}{{4.6.2}{121}{\textsc {Scorza Dragoni} (1935)}{tcb@cnt@thm.4.6.2}{}}
\newlabel{th:Scorza@cref}{{[thm][2][4,6]4.6.2}{[1][121][]121}}
\@writefile{thm}{\contentsline {tcolorbox}{\numberline {4.6.2}\textsc {Scorza Dragoni} (1935)}{121}{tcb@cnt@thm.4.6.2}\protected@file@percent }
\@writefile{thm}{\contentsline {pr}{{Beweis.}{80}{}}{121}{pr.80}\protected@file@percent }
\global\def\marklxxxprxiii{\ensuremath {\Box }}
\newlabel{th:Scorza}{{4.6.2}{122}{\textsc {Giuseppe Scorza Dragoni} (1935)}{tcb@cnt@thm.4.6.2}{}}
\newlabel{th:Scorza@cref}{{[thm][2][4,6]4.6.2}{[1][122][]122}}
\@writefile{thm}{\contentsline {tcolorbox}{\numberline {4.6.2}\textsc {Giuseppe Scorza Dragoni} (1935)}{122}{tcb@cnt@thm.4.6.2}\protected@file@percent }
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\global\def\marklxxxprxiv{\ensuremath {\Box }}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{Abbildungsverzeichnis}{i}{Item.208}\protected@file@percent }
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{Index}{ii}{Item.208}\protected@file@percent }
\bibcite{Platte}{1}
......@@ -1050,4 +1050,4 @@
\bibcite{SE}{5}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{Literatur}{iii}{Item.208}\protected@file@percent }
\ttl@finishall
\gdef \@abspage@last{128}
\gdef \@abspage@last{129}
......@@ -48,5 +48,5 @@
\indexentry{Greensche Funktion@\textsc{Green}sche Funktion|hyperpage}{111}
\indexentry{Fixpunktsatz von \textsc{Banach}|hyperpage}{113}
\indexentry{Greensche Funktion@\textsc{Green}sche Funktion!verallgemeinert|hyperpage}{114}
\indexentry{Fixpunktsatz von \textsc{Banach}|hyperpage}{121}
\indexentry{Fixpunktsatz von \textsc{Schauder}|hyperpage}{123}
\indexentry{Fixpunktsatz von \textsc{Banach}|hyperpage}{122}
\indexentry{Fixpunktsatz von \textsc{Schauder}|hyperpage}{124}
......@@ -34,10 +34,10 @@
\tikz\node at (0pt,0pt) [draw=none,fill=mycol1!70,line width=1pt,inner sep=5pt]{\parbox{\linewidth-2\fboxsep-2\fboxrule-10pt}{\centering\large\sffamily\bfseries\textcolor{white}{F}}};\vspace*{0.2cm}\nopagebreak
\item Fixpunktsatz von \textsc{Banach}\dotfill \hyperpage{26--28},
\hyperpage{113}, \hyperpage{121}
\hyperpage{113}, \hyperpage{122}
\item Fixpunktsatz von \textsc{Schauder}\dotfill \hyperpage{50},
\hyperpage{54}, \hyperpage{56}, \hyperpage{79},
\hyperpage{123}
\hyperpage{124}
\item Formel von \textsc {Liouville}\dotfill \hyperpage{45}
\item Fortsetzung\dotfill \hyperpage{62}
\item Fundamentalsystem\dotfill \hyperpage{45}
......
This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.21 (MiKTeX 20.10) (preloaded format=pdflatex 2020.10.19) 13 MAR 2021 13:46
This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.21 (MiKTeX 20.10) (preloaded format=pdflatex 2020.10.19) 16 MAR 2021 12:29
entering extended mode
**./main.tex
(main.tex
......@@ -3090,22 +3090,22 @@ Package cleveref Info: loaded `ngerman' language definitions on input line 140.
Package cleveref Info: loaded `ngerman' language definitions on input line 180.
[91]
Overfull \hbox (6.04567pt too wide) in paragraph at lines 217--223
Overfull \hbox (6.04567pt too wide) in paragraph at lines 219--225
[]$[]$ \T1/cmr/m/n/10 Sei $\OML/cmm/m/it/10 n \U/matha/m/n/10 P t\OT1/cmr/m/n/1
0 1\OML/cmm/m/it/10 ; [] ; N\U/matha/m/n/10 u$\T1/cmr/m/n/10 .
[]
Package cleveref Info: loaded `ngerman' language definitions on input line 234.
Package cleveref Info: loaded `ngerman' language definitions on input line 233.
[92]
Overfull \hbox (8.8798pt too wide) detected at line 288
Overfull \hbox (8.8798pt too wide) detected at line 290
[]
[]
Package cleveref Info: loaded `ngerman' language definitions on input line 288.
Package cleveref Info: loaded `ngerman' language definitions on input line 290.
[93]
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Package cleveref Info: loaded `ngerman' language definitions on input line 348.
[94])
Package cleveref Info: loaded `ngerman' language definitions on input line 106.
......@@ -3316,16 +3316,19 @@ Package cleveref Info: loaded `ngerman' language definitions on input line 72.
]
File: bc-lampe.mps Graphic file (type mps)
[MP to PDF] ("C:\Program Files\MiKTeX 2.9\tex/latex/bclogo\bc-lampe.mps"))
[MP to PDF] ("C:\Program Files\MiKTeX 2.9\tex/latex/bclogo\bc-lampe.mps")
Package cleveref Info: loaded `ngerman' language definitions on input line 119.
[115])
Package cleveref Info: loaded `ngerman' language definitions on input line 124.
[115] (sections/4/4-5.tex
Package marginnote Info: Margin note 118.1 is on absolute page 118 on input lin
[116] (sections/4/4-5.tex
Package marginnote Info: Margin note 119.1 is on absolute page 119 on input lin
e 4.
Package marginnote Info: right page because not two side mode on input line 4.
Package marginnote Info: xpos seems to be 85.35826pt on input line 4.
Package cleveref Info: loaded `ngerman' language definitions on input line 89.
[116
[117
]
Overfull \hbox (6.25194pt too wide) in paragraph at lines 101--106
......@@ -3343,7 +3346,7 @@ LaTeX Font Warning: Font shape `T1/cmr/m/scit' undefined
Package cleveref Info: loaded `ngerman' language definitions on input line 175.
[117]
[118]
Overfull \hbox (3.15956pt too wide) detected at line 230
[]
[]
......@@ -3355,7 +3358,7 @@ Overfull \hbox (3.15956pt too wide) detected at line 230
Package cleveref Info: loaded `ngerman' language definitions on input line 254.
[118]
[119]
Overfull \hbox (3.747pt too wide) detected at line 308
[]
[]
......@@ -3368,31 +3371,31 @@ Overfull \hbox (3.747pt too wide) detected at line 308
)
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[119] (sections/4/4-6.tex
[120] (sections/4/4-6.tex
Overfull \hbox (3.97511pt too wide) detected at line 72
[]
[]
Package cleveref Info: loaded `ngerman' language definitions on input line 72.
[120
[121
]
Package cleveref Info: loaded `ngerman' language definitions on input line 136.
Package cleveref Info: loaded `ngerman' language definitions on input line 130.
[121]
Overfull \hbox (8.24648pt too wide) in paragraph at lines 174--180
[122]
Overfull \hbox (8.24648pt too wide) in paragraph at lines 178--184
[]\T1/cmr/m/n/10 Sei $\U/matha/m/n/10 p\OML/cmm/m/it/10 u[]\U/matha/m/n/10 q[]
\OML/cmm/m/it/10 A$ \T1/cmr/m/n/10 ein Fol-ge. Dann ist $\U/matha/m/n/10 p\OM
L/cmm/m/it/10 Tu[]\U/matha/m/n/10 q[]$ \T1/cmr/m/n/10 gleich-m-ig be-schrnkt
, da $\U/matha/m/n/10 }\OML/cmm/m/it/10 Tu[]\U/matha/m/n/10 }[]
[]
Package cleveref Info: loaded `ngerman' language definitions on input line 201.
Package cleveref Info: loaded `ngerman' language definitions on input line 198.
[122])
[123])
Package cleveref Info: loaded `ngerman' language definitions on input line 132.
[123] (main.lof
[124] (main.lof
Package cleveref Info: loaded `ngerman' language definitions on input line 1.
)
\tf@lof=\write9
......@@ -3404,8 +3407,6 @@ Package cleveref Info: loaded `ngerman' language definitions on input line 140.
]
Package marginnote Info: Using workaround for absolute page number on input lin
e 140.
runsystem(makeindex -s StyleInd.ist main.idx)...executed (allowed).
(main.ind [2
......@@ -3441,10 +3442,10 @@ LaTeX Warning: Label(s) may have changed. Rerun to get cross-references right.
)
Here is how much of TeX's memory you used:
55264 strings out of 480202
1253586 string characters out of 2887231
2287320 words of memory out of 3000000
69763 multiletter control sequences out of 15000+200000
55266 strings out of 480202
1253090 string characters out of 2887231
2287329 words of memory out of 3000000
69764 multiletter control sequences out of 15000+200000
585835 words of font info for 159 fonts, out of 3000000 for 9000
1141 hyphenation exceptions out of 8191
108i,27n,133p,1195b,2679s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,50000s
......@@ -3526,9 +3527,9 @@ nts/symbols/msam7.pfb><C:/Program Files/MiKTeX 2.9/fonts/type1/public/amsfonts/
symbols/msbm10.pfb><C:/Program Files/MiKTeX 2.9/fonts/type1/public/amsfonts/sym
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......@@ -209,7 +209,7 @@
\contentsline {pr}{{Beweis.}{54}{}}{83}{pr.54}%
\contentsline {tcolorbox}{\numberline {3.2.2}stetige Abhängigkeit von der rechten Seite}{84}{tcb@cnt@thm.3.2.2}%
\contentsline {pr}{{Beweis.}{55}{}}{84}{pr.55}%
\contentsline {defn}{{Definition}{3.3.1}{(stark) dissipativ und akkretive Funktion}}{86}{dummy.3.3.1}%
\contentsline {defn}{{Definition}{3.3.1}{(stark) dissipative Funktion}}{86}{dummy.3.3.1}%
\contentsline {remark}{{Bemerkung}{3.3.2}{}}{86}{dummy.3.3.2}%
\contentsline {example}{{Beispiel}{3.3.3}{}}{87}{dummy.3.3.3}%
\contentsline {exampleB}{{Beispiel}{3.3.4}{Lineare Systeme I}}{87}{dummy.3.3.4}%
......@@ -290,25 +290,25 @@
\contentsline {remark}{{Bemerkung}{4.4.5}{}}{115}{dummy.4.4.5}%
\contentsline {remark}{{Bemerkung}{4.4.6}{Andere Randbedingungen}}{115}{dummy.4.4.6}%
\contentsline {tcolorbox}{\numberline {4.4.1}}{115}{tcb@cnt@thm.4.4.1}%
\contentsline {pr}{{Beweis.}{72}{}}{115}{pr.72}%
\contentsline {lemma}{{Lemma}{4.5.1}{Differentialungleichung für $d = 0$}}{116}{dummy.4.5.1}%
\contentsline {example}{{Beispiel}{4.5.2}{}}{116}{dummy.4.5.2}%
\contentsline {pr}{{Beweis.}{73}{}}{116}{pr.73}%
\contentsline {tcolorbox}{\numberline {4.5.1}Maximumprinzip}{116}{tcb@cnt@thm.4.5.1}%
\contentsline {pr}{{Beweis.}{74}{}}{117}{pr.74}%
\contentsline {cor}{{Korollar}{4.5.3}{$d \ge 0$ genügt für eindeutige Lösbarkeit von \eqref {eq:homohomo}}}{117}{dummy.4.5.3}%
\contentsline {cor}{{Korollar}{4.5.4}{Monotonie}}{117}{dummy.4.5.4}%
\contentsline {pr}{{Beweis.}{75}{}}{117}{pr.75}%
\contentsline {tcolorbox}{\numberline {4.5.2}Stabilitätssaussage}{117}{tcb@cnt@thm.4.5.2}%
\contentsline {remark}{{Bemerkung}{4.5.5}{}}{118}{dummy.4.5.5}%
\contentsline {pr}{{Beweis.}{76}{}}{118}{pr.76}%
\contentsline {lemma}{{Lemma}{4.5.6}{}}{119}{dummy.4.5.6}%
\contentsline {pr}{{Beweis.}{77}{}}{119}{pr.77}%
\contentsline {tcolorbox}{\numberline {4.5.3}Starkes Maximumprinzip}{119}{tcb@cnt@thm.4.5.3}%
\contentsline {pr}{{Beweis.}{78}{}}{119}{pr.78}%
\contentsline {remark}{{Bemerkung}{4.6.1}{}}{120}{dummy.4.6.1}%
\contentsline {tcolorbox}{\numberline {4.6.1}Eindeutige Lösbarkeit}{120}{tcb@cnt@thm.4.6.1}%
\contentsline {remark}{{Bemerkung}{4.6.2}{}}{120}{dummy.4.6.2}%
\contentsline {pr}{{Beweis.}{79}{}}{120}{pr.79}%
\contentsline {tcolorbox}{\numberline {4.6.2}\textsc {Scorza Dragoni} (1935)}{121}{tcb@cnt@thm.4.6.2}%
\contentsline {pr}{{Beweis.}{80}{}}{121}{pr.80}%
\contentsline {pr}{{Beweis.}{72}{}}{116}{pr.72}%
\contentsline {lemma}{{Lemma}{4.5.1}{Differentialungleichung für $d = 0$}}{117}{dummy.4.5.1}%
\contentsline {example}{{Beispiel}{4.5.2}{}}{117}{dummy.4.5.2}%
\contentsline {pr}{{Beweis.}{73}{}}{117}{pr.73}%
\contentsline {tcolorbox}{\numberline {4.5.1}Maximumprinzip}{117}{tcb@cnt@thm.4.5.1}%
\contentsline {pr}{{Beweis.}{74}{}}{118}{pr.74}%
\contentsline {cor}{{Korollar}{4.5.3}{$d \ge 0$ genügt für eindeutige Lösbarkeit von \eqref {eq:homohomo}}}{118}{dummy.4.5.3}%
\contentsline {cor}{{Korollar}{4.5.4}{Monotonie}}{118}{dummy.4.5.4}%
\contentsline {pr}{{Beweis.}{75}{}}{118}{pr.75}%
\contentsline {tcolorbox}{\numberline {4.5.2}Stabilitätssaussage}{118}{tcb@cnt@thm.4.5.2}%
\contentsline {remark}{{Bemerkung}{4.5.5}{}}{119}{dummy.4.5.5}%
\contentsline {pr}{{Beweis.}{76}{}}{119}{pr.76}%
\contentsline {lemma}{{Lemma}{4.5.6}{}}{120}{dummy.4.5.6}%
\contentsline {pr}{{Beweis.}{77}{}}{120}{pr.77}%
\contentsline {tcolorbox}{\numberline {4.5.3}Starkes Maximumprinzip}{120}{tcb@cnt@thm.4.5.3}%
\contentsline {pr}{{Beweis.}{78}{}}{120}{pr.78}%
\contentsline {remark}{{Bemerkung}{4.6.1}{}}{121}{dummy.4.6.1}%
\contentsline {tcolorbox}{\numberline {4.6.1}Eindeutige Lösbarkeit}{121}{tcb@cnt@thm.4.6.1}%
\contentsline {remark}{{Bemerkung}{4.6.2}{}}{121}{dummy.4.6.2}%
\contentsline {pr}{{Beweis.}{79}{}}{121}{pr.79}%
\contentsline {tcolorbox}{\numberline {4.6.2}\textsc {Giuseppe Scorza Dragoni} (1935)}{122}{tcb@cnt@thm.4.6.2}%
\contentsline {pr}{{Beweis.}{80}{}}{122}{pr.80}%
......@@ -42,8 +42,8 @@
\contentsline {subsection}{\numberline {4.2}Randwertprobleme für homogene lineare Differentialgleichungen mit inhomogenen \textsc {Dirichlet} Randbedingungen}{108}{subsection.4.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {4.3}Die \textsc {Green}sche Funktion}{111}{subsection.4.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {4.4}\textsc {Green}sche Funktion für inhomogene lineare Randwertprobleme}{114}{subsection.4.4}%
\contentsline {subsection}{\numberline {4.5}Das Maximumprinzip}{116}{subsection.4.5}%
\contentsline {subsection}{\numberline {4.6}Allgemeine semilineare Randwertprobleme}{120}{subsection.4.6}%
\contentsline {subsection}{\numberline {4.5}Das Maximumprinzip}{117}{subsection.4.5}%
\contentsline {subsection}{\numberline {4.6}Allgemeine semilineare Randwertprobleme}{121}{subsection.4.6}%
\contentsline {section}{Abbildungsverzeichnis}{i}{Item.208}%
\contentsline {section}{Index}{ii}{Item.208}%
\contentsline {section}{Literatur}{iii}{Item.208}%
......
......@@ -49,8 +49,8 @@ Wir behandeln nun eine weitere der Fragen nach \textsc{Hadamard} aus der \hyperr
\end{exampleB}
\begin{pr}
Da der Ball $B(u_0, r)$ offen ist, existiert eine positive Zahl $r' \in (0,r)$, sodass $B(u_0,r') \subset B(u_0,r)$.
Da die Einschränkung von $f$ auf ${[0,T] \times \overline{B}(u_0,r')}$ weiterhin die Voraussetzung des \hyperref[th:PL-lokal]{ersten Satzes von \textsc{Picard-Lindelöf}} erfüllt, existiert genau eine Lösung $v$ des Anfangswertproblems \eqref{eq:lipschitz} mit den Daten $t_0, v_0$ und $f$ auf einem Intervall $J \subset I \subset [0, T]$.
Da der Ball $B(u_0, r)$ offen ist, existiert eine positive Zahl $r' \in (0,r)$, sodass $B(v_0,r') \subset B(u_0,r)$.
Da die Einschränkung von $f$ auf ${[0,T] \times \overline{B}(v_0,r')}$ weiterhin die Voraussetzung des \hyperref[th:PL-lokal]{ersten Satzes von \textsc{Picard-Lindelöf}} erfüllt, existiert genau eine Lösung $v$ des Anfangswertproblems \eqref{eq:lipschitz} mit den Daten $t_0, v_0$ und $f$ auf einem Intervall $J \subset I \subset [0, T]$.
Für alle $t \in J$ gilt
\begin{align*}
......
......@@ -37,7 +37,7 @@ System, in denen wir einen Faktor der Form $e^{-t}$ haben, heißen \emph{dissipa
Sei im Folgenden stets $(H, \lsk \cdot, \cdot, \rsk, \| \cdot \|)$ ein \textsc{Hilbert}-Raum.
\begin{defn}[(stark) dissipativ und akkretive Funktion] \label{defn:diss}
\begin{defn}[(stark) dissipative Funktion] \label{defn:diss}
Eine Funktion $f \colon [0, T] \times H \to H$ heißt
\begin{enumerate}
\item
......
......@@ -186,8 +186,10 @@ Wir wollen Lösungen $u \colon [0, T] \to X$ approximieren.
& \le w_0 \| e^{(n)} \| + \Delta t \int_{t_n}^{t_{n + 1}} \| u''(t) \| \diff{t} \\
& \le w_0^2 \| e^{(n - 1)} \| + \Delta t \left( \int_{t_n}^{t_{n + 1}} \| u''(t) \| \diff{t} + w_0 \int_{t_{n - 1}}^{t_{n}} \| u''(t) \| \diff{t} \right)
\le \ldots \\
& \le w_0^{n + 1} \| e^{(0)} \| + \Delta t w_0^n \int_{0}^{t_{n + 1}} \| u''(t) \| \diff{t}
& \le w_0^{n + 1} \| e^{(0)} \| + \Delta t w_0^n \int_{0}^{t_{n + 1}} \| u''(t) \| \diff{t} \\
& \le w_0^{n + 1} \left( \| e^{(0)} \| + \Delta t \int_{0}^{t_{n + 1}} \| u''(t) \| \diff{t} \right),
\end{align*}
da $w_0>1$ gilt.
\end{enumerate}
\end{pr}
......
......@@ -651,7 +651,7 @@ Da $E$ ein erstes Integral ist, ist der Gleichgewichtspunkt stabil aber nicht as
\item
Wir zeigen, dass $v_{\infty} = 0$ gilt, indem wir $v_{\infty} > 0$ annehmen.
Da $V$ stetig ist,und $V(0) = 0$ gilt, existiert ein $\sigma \in (0, \delta)$, sodass $0 \le V(v) \le V_{\infty}$ für alle $v \in U$ mit $ \| v \| < \sigma$ gilt.
Da $V$ stetig ist und $V(0) = 0$ gilt, existiert ein $\sigma \in (0, \delta)$, sodass $0 \le V(v) \le V_{\infty}$ für alle $v \in U$ mit $ \| v \| < \sigma$ gilt.
Somit folgt für $t > 0$
\begin{equation*}
\sigma
......@@ -675,13 +675,13 @@ Da $E$ ein erstes Integral ist, ist der Gleichgewichtspunkt stabil aber nicht as
= \int_{0}^{t} \frac{\diff}{\diff{s}} V(u(s)) \diff{s}
= \int_{0}^{t} \underbrace{\lsk \nabla V(v), f(v) \rsk}_{\le M} \diff{s}
\le M t
\xrightarrow{t \to \infty} - \infty
\xrightarrow{t \to \infty} - \infty,
\end{equation*}
aber $V(u(t)) - V(u_0) \to V_{\infty} \ge 0$.
aber auch $V(u(t)) \xrightarrow[t \to \infty]{\circled{\footnotesize 2}} V_{\infty} \ge 0$ und $V(u_0)$ ist konstant.
Somit ist $V_{\infty} = 0$.
\item
Da die Kugel $\overline{B}(0, \eps)$ kompakt ist und $\{ u(t): t \ge 0\} \subset \overline{B}(u, \eps)$ gilt, ist $\{ u(t): t \ge 0\}$ kompakt.
Da die Kugel $\overline{B}(0, \eps)$ kompakt ist und $\{ u(t): t \ge 0\} \subset \overline{B}(u, \eps)$ gilt, ist $\{ u(t): t \ge 0\}$ relativ kompakt.
Somit besitzt jede Folge $(t_n)_{n \in \N}$ mit $t_n \to \infty$ eine Teilfolge $(t_{n_k})_{k \in \N}$, sodass $u(t_{n_k}) \xrightarrow{k \to \infty}: u_{\infty}$ konvergiert.
Es folgt aufgrund der Stetigkeit von $V$
\begin{equation*}
......
......@@ -108,7 +108,14 @@ Also gilt die
Damit erhalten wir zum Beispiel den folgenden Satz.
\begin{thm}{}{}
Sind $c \in \C^1([a, b]; \R)$ und $d(x) + \frac{1}{4} c(x)^2 - \frac{1}{2} c'(x) \ge 0$, so hat das Randwertproblem \eqref{eq:homohomo} mit inhomogenen Randbedingungen genau eine Lösung.
Sind $c \in \C^1([a, b]; \R)$ und $d(x) + \frac{1}{4} c(x)^2 - \frac{1}{2} c'(x) \ge 0$, so hat die inhomogene Version des Randwertproblems \eqref{eq:homohomo}, also das Randwertproblem
\begin{equation*}
\begin{cases}
(L u)(x) = f(x), \\
u(a) = \alpha, u(b) = \beta,
\end{cases}
\end{equation*}
für beliebiges $f \in \C([a, b]; \R)$ und beliebige $\alpha,\beta \in \R$ genau eine Lösung.
\end{thm}
\begin{pr}
......
......@@ -24,7 +24,7 @@ Der Unterschied der folgenden Sätze, welche Anwendungen der Fixpunktsätze von
für alle $x \in [a, b]$ und alle $v, v', w, w' \in \R$ gilt.
Besitzt das zugehörige homogene Problem \eqref{eq:homohomo} nur die triviale Lösung und gilt
\begin{equation} \label{eq:L}
\max_{[a, b]} \int_{a}^{b} L | G(x, \xi) | + L' \left| \frac{\partial G}{\partial x}(x, \xi) \right| \diff{\xi}
\max_{x \in [a, b]} \int_{a}^{b} L | G(x, \xi) | + L' \left| \frac{\partial G}{\partial x}(x, \xi) \right| \diff{\xi}
< 1,
\end{equation}
so besitzt \eqref{eq:semi} \emph{genau} eine Lösung.
......@@ -52,7 +52,7 @@ Der Unterschied der folgenden Sätze, welche Anwendungen der Fixpunktsätze von
Wir setzen wieder
\begin{equation*}
(T u)(x)
\coloneqq \int_{a}^{b} G(x, \xi) f(x, u(\xi), u'(\xi)) \diff{\xi}.
\coloneqq \int_{a}^{b} G(x, \xi) f(\xi, u(\xi), u'(\xi)) \diff{\xi}.
\end{equation*}
Ganz analog zu oben kann man zeigen, dass $u \in \C^1([a, b])$ genau dann eine Lösung des Randwertproblems \eqref{eq:semi} ist, wenn $u$ ein Fixpunkt von $T$ ist.
......@@ -76,36 +76,36 @@ Der Unterschied der folgenden Sätze, welche Anwendungen der Fixpunktsätze von
Auf $\C^1([a, b]; \R)$ betrachten wir die Norm
\begin{equation*}
\| | u | \|
\coloneqq \max_{[a, b]} L | u(x) | + L' | u(x) |.
\coloneqq \max_{x \in [a, b]} L | u(x) | + L' | u'(x) |.
\end{equation*}
Dann ist $\| | \cdot | \|$ zu $\| \cdot \|_{\C^1}$ äquivalent und somit $(\C^1([a, b]; \R), \| | \cdot \| |)$ ein \textsc{Banach}-Raum.
Dann ist $\| | \cdot | \|$ zu $\| \cdot \|_{\C^1}$ äquivalent und somit $(\C^1([a, b]; \R), \| | \cdot | \|)$ ein \textsc{Banach}-Raum.
\item
Wir zeigen, dass $T$ eine Kontraktion bezüglich $\| | \cdot | \|$ ist.
Für $v, w \in \C^1([a, b], \R)$ und $x \in [a, b]$ gilt
\begin{align*}
| (T v)(x) - (T w)(x) |
\overset{\triangle \ne}&{\le} \int_{a}^{b} | G(x, \xi) | \left| f(x, v(\xi), v'(\xi)) \diff{\xi} - f(x, w(\xi), w'(\xi)) \right| \diff{\xi} \\
\overset{\triangle \ne}&{\le} \int_{a}^{b} | G(x, \xi) | \left| f(\xi, v(\xi), v'(\xi)) \diff{\xi} - f(\xi, w(\xi), w'(\xi)) \right| \diff{\xi} \\
& \le \int_{a}^{b} | G(x, \xi) | (L | v(\xi) - w(\xi) | + L' | v'(\xi) - w'(\xi) | \diff{\xi} \\
& \le \int_{a}^{b} | G(x, \xi) \diff{\xi} \| | v - w | \|
\end{align*}
und analog
\begin{align*}
| (T v)'(x) - (T w)'(x) |
\overset{\triangle \ne}&{\le} \int_{a}^{b} \left| \frac{\partial}{\partial x} G(x, \xi) \right| \left| f(x, v(\xi), v'(\xi)) \diff{\xi} - f(x, w(\xi), w'(\xi)) \right| \diff{\xi} \\
\overset{\triangle \ne}&{\le} \int_{a}^{b} \left| \frac{\partial}{\partial x} G(x, \xi) \right| \left| f(\xi, v(\xi), v'(\xi)) \diff{\xi} - f(\xi, w(\xi), w'(\xi)) \right| \diff{\xi} \\
& \le \int_{a}^{b} \left| \frac{\partial}{\partial x} G(x, \xi) \right| \diff{\xi} \| | v - w | \|.
\end{align*}
Es folgt
\begin{align*}
\| | T v - T w | \|
& = \max_{x \in [a, b]} L | (T v)(x) - (T w)(x) | + L' | (T v)'(x) - (T w)'(x) | \\
& \le \underbrace{\max_{[a, b]} \int_{a}^{b} L | G(x, \xi) | + L' \left| \frac{\partial G}{\partial x}(x, \xi) \right|}_{< 1} \diff{\xi} \| | v - w | \|.
& \le \underbrace{\max_{x \in [a, b]} \int_{a}^{b} L | G(x, \xi) | + L' \left| \frac{\partial G}{\partial x}(x, \xi) \right|}_{< 1} \diff{\xi} \| | v - w | \|.
\end{align*}
Die Behauptung folgt mit dem \emph{Fixpunktsatz von \textsc{Banach}}\index{Fixpunktsatz von \textsc{Banach}}.
\end{enumerate}
\end{pr}
\begin{thm}{\textsc{Scorza Dragoni} (1935)}{Scorza}
\begin{thm}{\textsc{Giuseppe Scorza Dragoni} (1935)}{Scorza}
Sei $f \colon [a, b] \times \R \times \R \to \R$ stetig und beschränkt.
Besitzt das zugehörige homogene Problem \eqref{eq:homohomo} nur die triviale Lösung, so besitzt \eqref{eq:semi} mindestens eine Lösung.
\end{thm}
......@@ -116,7 +116,7 @@ Der Unterschied der folgenden Sätze, welche Anwendungen der Fixpunktsätze von
Seien $M > 0$, sodass $| f(x, s, s') | \le M$ für alle $x \in [a, b]$ und $s, s' \in \R$ gilt und
\begin{equation*}
\gamma
\coloneqq \max_{[a, b]} \int_{a}^{b} L | G(x, \xi) | + L' \left| \frac{\partial G}{\partial x}(x, \xi) \right|
\coloneqq \max_{x \in [a, b]} \int_{a}^{b} | G(x, \xi) | + \left| \frac{\partial G}{\partial x}(x, \xi) \right|
\end{equation*}
und $r \coloneqq M \gamma > 0$.
Wir setzen wieder (cf. vorheriger Beweis)
......@@ -124,14 +124,18 @@ Der Unterschied der folgenden Sätze, welche Anwendungen der Fixpunktsätze von
T \colon \C^1([a, b]; \R) \to \C^1([a, b]; \R), \qquad
u(x) \mapsto \int_{a}^{b} G(x, \xi) f(x, u(\xi), u'(\xi)) \diff{\xi}.
\end{equation*}
und versehen $\C^1([a, b]; \R)$ mit der zu $\| \cdot \|_{\C^1}$ äquivalenten Norm
\begin{equation*}
\| | u | \| \coloneqq \max_{x \in [a, b]} | u(x) | + | u'(x) |.
\end{equation*}
\item
Wir setzen
\begin{equation*}
A
\coloneqq
\{ u \in \C^1([a, b]; \R): \| u \|_{\C^1([a, b]; \R)} \le r \}
= \overline{B}^{\| \cdot \|_{\C^1}}(0, r)
\{ u \in \C^1([a, b]; \R): \| | u | \| \le r \}
= \overline{B}^{\| | \cdot | \|}(0, r)
\subset \C^1([a, b]; \R).
\end{equation*}
Dann ist $T$ eine Selbstabbildung auf $A$: Für $u \in A$ gilt
......@@ -147,7 +151,7 @@ Der Unterschied der folgenden Sätze, welche Anwendungen der Fixpunktsätze von
\item
Wir zeigen nun die \hyperref[defn:kompakt]{Kompaktheit} von $T$ und dafür zunächst die Stetigkeit von $T$.
Sei $\eps > 0$.
Wir zeigen, dass dann ein $\delta > 0$ existiert, sodass $\| v - w \|_{\C^1} < \delta$ impliziert, dass $\| T v - T w \|_{\C^1} < \eps$.
Wir zeigen, dass dann ein $\delta > 0$ existiert, sodass $\| | v - w | \| < \delta$ impliziert, dass $\| | T v - T w | \| < \eps$.
Nun ist $f$ auf der \emph{kompakten Menge} $\{ (x, s, s') \in [a, b] \times \R \times \R: | s | + | s' | \le r \}$ \emph{gleichmäßig} stetig, es gibt also ein $\delta > 0$, sodass für $x \in [a, b]$
\begin{equation*}
| f(x, s, s') - f(x, t, t') |
......@@ -155,9 +159,9 @@ Der Unterschied der folgenden Sätze, welche Anwendungen der Fixpunktsätze von
\end{equation*}
wenn $| s - t | + | s' - t' | < \delta$ und $| s | + |s' |, | t | + | t' | \le r$ gelten.
Sind $v, w \in A$ mit $\| v - w \|_{\C^1([a, b]; \R)} < \delta$, so folgt
Sind $v, w \in A$ mit $\| | v - w | \| < \delta$, so folgt
\begin{align*}
\| T v - T w \|_{\C^1([a, b]; \R)}
\| | T v - T w | \|
\overset{\triangle \ne}&{\le} \max_{x \in [a, b]} \int_{a}^{b}\left( | G(x, \xi) | + \left| \frac{\partial}{\partial x} G(x, \xi) \right|\right) \\
& \qquad \cdot \left| f\left(\xi, v(\xi), v'(\xi)\right) - f\left(\xi, w(\xi), w'(\xi)\right) \right| \diff{\xi} \\
& \le \frac{\eps}{\gamma} \cdot \max_{x \in [a, b]} \int_{a}^{b} | G(x, \xi) | + \left| \frac{\partial}{\partial x} G(x, \xi) \right| \diff{\xi}
......@@ -172,7 +176,7 @@ Der Unterschied der folgenden Sätze, welche Anwendungen der Fixpunktsätze von
\begin{enumerate}[label = \protect\circled{\alph*}]
\item
Sei $(u_n)_{n \in \N} \subset A$ ein Folge.
Dann ist $(T u_n)_{n \in \N}$ gleichmäßig beschränkt, da $\| T u_n \|_{\infty} \le \| T u_n \|_{\C^1} \le r$ gilt und gleichgradig stetig: für $n \in \N$ gilt
Dann ist $(T u_n)_{n \in \N}$ gleichmäßig beschränkt, da $\| T u_n \|_{\infty} \le \| | T u_n | \| \le r$ gilt und gleichgradig stetig: für $n \in \N$ gilt
\begin{align*}
| (T u_n)(x) - (T u_n)(y) |
\overset{\triangle \ne}&{\le} \int_{a}^{b} | G(x, \xi) - G(y, \xi) | | f(\xi, u_n(\xi), u_n'(\xi)) | \diff{\xi} \\
......@@ -189,7 +193,7 @@ Der Unterschied der folgenden Sätze, welche Anwendungen der Fixpunktsätze von